Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий). Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются .
Число 7 (семь)
Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение и в физике, механике, астрономии, химии и многих других науках. P-адические числа можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел при помощи т. P-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.
Введение комплексных чисел
Даже натуральные числа представляют собой математическую идеализацию, ряд натуральных чисел бесконечен. На объем же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения. В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определенное число ячеек (обычно двоичных, бит – от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, происходит так называемое переполнение, и должна быть зафиксирована ошибка. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой.
Магические свойства чисел
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Числа, или последовательности Фибоначчи можно встретить в реальной жизни, например по такому принципу растут семена в цветок подсолнечника или созданная раковина улитка. Также такие последовательности встречаются в биологии, например по принципу Фибоначчи двигается спираль ДНК. Даже в архитектуре и живописи используют эту последовательность, на основе которой создано правило золотого сечения. Истинные числа можно представить как прямую с порядком всех чисел или как обычную линейку. К действительным числам относятся все положительные, отрицательные числа, ноль, дроби, рациональные и иррациональные числа.
Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Кватернионы в числа фибоначчи это отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения. Комплексные числа — это числа, представленные формулой x + iy .
- Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно.
- Число это одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
- Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека.
- О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в кириллической системе счисления.
- С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине «мнимое».
- Числа, или последовательности Фибоначчи можно встретить в реальной жизни, например по такому принципу растут семена в цветок подсолнечника или созданная раковина улитка.
При этом использовались разные слова «один» «два», «три» для понятий «один человек», «два человека», «три человека» и «один топор», «два топора», «три топора». Такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием «много». Разные слова для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас, такие, как «толпа», «стадо», «куча». Примитивный счёт предметов заключался «в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона», которым у большинства народов являлись пальцы («счёт на пальцах»).
Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытие (то, что существует и мыслится само по себе) и неподлинное бытие (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении). Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы.
История чисел
О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в кириллической системе счисления. Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека. Представление чисел в памяти компьютера имеет ограничения, связанные с ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа.
Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиваться арифметика — наука о числах. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется теория чисел. Только к середине XIX века под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Введение в употребление дробных чисел было вызвано потребностью производить измерения и стало исторически первым расширением понятия числа. Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением письменности.
Для представления отрицательных чисел часто используется дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления. Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. При изучении математики приходится оперировать разными видами чисел. Однако многие учащиеся путаются и не понимают, что такое действительные числа, а что такое натуральные числа.
Какие виды чисел?
При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества однородных предметов, называемых одним словом, например «три человека», «три топора».
Системы счислений. Десятичная и двоичная системы
Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы. Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел — основой всех отношений в мире.
- Или чем рациональные числа отличаются от иррациональных.
- Также такие последовательности встречаются в биологии, например по принципу Фибоначчи двигается спираль ДНК.
- Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные.
- Числа помогают количественно характеризовать различные свойства предметов.
- При помощи чисел происходит измерение различных величин.
Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Отрицательные числа систематически применялись при решении задач ещё в VI—XI веках в Индии и истолковывались примерно так же, как это делается в настоящее время. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт. Английский математик Август де Морган назвал как-то Пи «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».
Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более впоследствии усложняясь.
Где x и y – это действительные числа, а i – мнимая единица (число, которое при поднесении к квадрату дает отрицательную единицу). В системах компьютерной алгебры, Питоне и некоторых других языках программирования числа представлены в виде объектов, над которыми определены операции сложения, умножения, возведения в степень и обратные к ним. В таких системах возможны операции и над иррациональными, и над трансцендентными числами без потери точности. Такое представление обычно требует большего объема памяти, чем приближенное представление рациональными числами. Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.
Уже у итальянских математиков XVI века (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение квадратного уравнения, в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Казалось, что задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, не имеет решения.
Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления). Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается . (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта.
